volume benda putar yg terjadi jika daerah yg dibatasi kurva y=sin x,0 Posted on


volume benda putar yg terjadi jika daerah yg dibatasi kurva y=sin x,0<x<π/2 dan sumbu x jika diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 adalah​

Jawab:

\displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{4}\pi^2

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita ingin mencari volume putar sin x terhadap sumbu x.

Secara umum, volume putar suatu fungsi f(x) terhadap sumbu x pada batas a hingga b didefinisikan sebagai:

\mathrm{Volume}=\pi\displaystyle \int_a^b f(x)^2\: \mathrm{d}x

Maka, volume putar kita untuk sin x dapat ditemukan dengan:

\mathrm{V}=\pi \displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin x^2\: \mathrm{d}x

\mathrm{V}=\pi \displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^2 x\: \mathrm{d}x

Sekarang, kita akan gunakan identitas:

\cos 2x=1-2\sin^2x

2\sin^2x=1-\cos 2x

\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}

Substitusikan kembali pada V:

\mathrm{V}=\pi \displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^2 x\: \mathrm{d}x

\mathrm{V}=\pi \displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos 2x}{2}\: \mathrm{d}x

\displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{2}\pi \int_0^{\pi/2} (1-\cos 2x)\: \mathrm{d}x

Integral dapat kita pecah menjadi:

\displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{2}\pi \int_0^{\pi/2} (1-\cos 2x)\: \mathrm{d}x

\displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{2}\pi\left( \int_0^{\pi/2} 1  \:\mathrm{d}x-\int_0^{\pi/2}\cos 2x\:\mathrm{d}x \right)

\displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{2}\pi\left( x_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\cos 2x\:\mathrm{d}x \right)

\displaystyle  \mathrm{L}=\frac{1}{2}\pi\left(\left\frac{\pi}{2}-0\right -\int_0^{\pi/2}\cos 2x\:\mathrm{d}x \right)

\displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{\pi}{2} -\int_0^{\pi/2}\cos 2x\:\mathrm{d}x \right)

Ingat,

\displaystyle \int \cos ax\: \mathrm{d}x=\frac{\sin ax}{a}+C

Maka,

\displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{\pi}{2} -\int_0^{\pi/2}\cos 2x\:\mathrm{d}x \right)

\displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{\pi}{2} -\left\frac{\sin 2x}{2}\right_0^{\pi/2}  \right)

\displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{\pi}{2} -\left\frac{\sin \pi}{2}-\frac{\sin 0}{2}    \right\right)

\displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{\pi}{2} -0\right)

\displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{4}\pi^2

Maka, volume yang terbentuk adalah \displaystyle  \mathrm{V}=\frac{1}{4}\pi^2


Leave a Reply

Your email address will not be published.