QUIZ #6, Hasil Dari ,

QUIZ #6

hasil dari $\displaystyle \int \frac{1}{x^4 + 1} \: \text{dx}$

Hasil dari $\displaystyle{\int\limits {\frac{1}{x^4+1}} \, dx}$ adalah $\boldsymbol{\frac{1}{4\sqrt{2}}ln\left | \frac{2x^2+2\sqrt{2}x+2}{2x^2-2\sqrt{2}x+2} \right |+\frac{1}{2\sqrt{2}}\left tan^{-1}(\sqrt{2}x+1)+tan^{-1}(\sqrt{2}x-1) \right +C}$ .

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

$\displaystyle{f(x)=\int\limits {\left \frac{df(x)}{dx} \right } \, dx}$

Sifat – sifat operasi pada integral adalah sebagai berikut :

$(i)~\displaystyle{\int\limits {ax^n} \, dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C},~~~dengan~C=konstanta$

$(ii)~\displaystyle{\int\limits {kf(x)} \, dx=k\int\limits {f(x)} \, dx}$

$(iii)~\displaystyle{\int\limits {\left f(x)\pm g(x) \right } \, dx=\int\limits {f(x)} \, dx\pm\int\limits {g(x)} \, dx}$

$(iv)~\displaystyle{\int\limits^b_a {f(x)} \, dx=F(b)-F(a)}$

Untuk mengintegralkan fungsi rasional berbentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$ kita bisa dekomposisi fungsi tersebut terlebih dahulu menjadi pecahan pecahan parsial. Lalu kita integralkan tiap tiap pecahan parsialnya.

DIKETAHUI

$\displaystyle{\int\limits {\frac{1}{x^4+1}} \, dx}=$

DITANYA

Tentukan hasil integralnya.

PENYELESAIAN

$\frac{1}{x^4+1}=\frac{1}{x^4+2x^2-2x^2+1}$

$\frac{1}{x^4+1}=\frac{1}{x^4+2x^2+1-2x^2}$

$\frac{1}{x^4+1}=\frac{1}{(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2}$

$\frac{1}{x^4+1}=\frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}$

Misal :

$\frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}=\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}$

$\frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}=\frac{(Ax+B)(x^2-\sqrt{2}x+1)+(Cx+D)(x^2+\sqrt{2}x+1)}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}$

$\frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}=\frac{(A+C)x^3+(-\sqrt{2}A+B+\sqrt{2}C+D)x^2+(A-\sqrt{2}B+C+\sqrt{2}D)x+(B+D)}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}$

Dengan menyamakan kedua ruas, kita peroleh 4 persamaan :

> Untuk koefisien x³ :

$A+C=0$

$C=-A~~~~~~...(i)$

> Untuk konstanta :

$B+D=1$

$D=1-B~~~~~~...(ii)$

> Untuk koefisien x² :

$-\sqrt{2}A+B+\sqrt{2}C+D=0$

$-\sqrt{2}A+B+\sqrt{2}(\mathbf{-A})+(\mathbf{1-B})=0$

$-2\sqrt{2}A+1=0$

$A=\frac{1}{2\sqrt{2}}~\to~C=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$

> Untuk koefsien x :

$A-\sqrt{2}B+C+\sqrt{2}D=0$

$A-\sqrt{2}B+(\mathbf{-A})+\sqrt{2}(\mathbf{1-B})=0$

$-2\sqrt{2}B+\sqrt{2}=0$

$B=\frac{1}{2}~\to~D=\frac{1}{2}$

Diperoleh :

$\frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{2}}x+\frac{1}{2} }{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{-\frac{1}{2\sqrt{2}}x+\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}$

$\frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}=\frac{x+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}(x^2+\sqrt{2}x+1)}+\frac{-x+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}(x^2-\sqrt{2}x+1)}$

Maka :

$\displaystyle{\int\limits {\frac{1}{x^4+1}} \, dx}$

$=\displaystyle{\int\limits {\left \frac{x+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}(x^2+\sqrt{2}x+1)}+\frac{-x+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}(x^2-\sqrt{2}x+1)} \right } \, dx }\\$

$=\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\limits {\left \frac{x+\sqrt{2}}{(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}+\frac{-x+\sqrt{2}}{(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}} \right } \, dx }\\$

$=\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\limits {\frac{x+\sqrt{2}}{(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}} \, dx +\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\limits {\frac{-x+\sqrt{2}}{(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}} \, dx }$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left \frac{1}{2}ln|2x^2+2\sqrt{2}x+2|+tan^{-1}(\sqrt{2}x+1)+C_3 \right +\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2}ln|2x^2$

$.~~-2\sqrt{2}x+2|+tan^{-1}(\sqrt{2}x-1)+C_5$

$=\frac{1}{4\sqrt{2}}ln\left | \frac{2x^2+2\sqrt{2}x+2}{2x^2-2\sqrt{2}x+2} \right |+\frac{1}{2\sqrt{2}}\left tan^{-1}(\sqrt{2}x+1)+tan^{-1}(\sqrt{2}x-1) \right +C$

KESIMPULAN

PELAJARI LEBIH LANJUT

Integral pecahan parsial : brainly.co.id/tugas/40289194
Integral pecahan parsial : brainly.co.id/tugas/30067184
Integral substitusi trigonometri : brainly.co.id/tugas/40357056

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral Tak Tentu

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Kata Kunci : integral, antiturunan, fungsi, rasional, pecahan, parsial.